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Gibt es im Dreieck einen Punkt, der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist?
Das weißt du schon:
Wenn ein Punkt von den Eckpunkten A und B gleich weit entfernt ist,
so muss er auf der Streckensymmetrale sAB der Strecke AB liegen. Wenn ein Punkt
von den Eckpunkten A und C gleich weit entfernt ist, so muss er auf der
Streckensymmetrale sAC der Strecke AC liegen.
Daraus kannst du erkennen: Der einzige Punkt, der für unseren Mittelpunkt in Frage kommt,
ist der Schnittpunkt U der beiden Streckensymmetralen sAB und sAC.
Nun gilt natürlich UA=UB und UA=UC, daher ist auch UB=UC.
Dieser Punkt U ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist, kann man
mit ihm als Mittelpunkt einen Kreis durch die Punkte A, B und C zeichnen. Dieser
kreis heißt Umkreis des Dreiecks und der
Punkt heißt daher Umkreismittelpunkt U. Sein
Abstand von den Eckpunkten des Dreiecks ist der
Umkreisradius r.
Streckensymmetralen des Dreiecks
In jedem Dreieck schneiden einander die drei Streckensymmetralen
der Dreieckseiten in
genau einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt.
Dieser ist von den drei Eckpunkten gleich weit entfernt.
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Merksatz im Kasten in dein Lernheft.
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