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Gibt es im Dreieck einen Punkt, der von allen drei Seiten gleich weit entfernt ist?
Das weißt du schon:
Wenn ein Punkt von den Seiten b und c gleich weit entfernt ist,
so muss er auf der Winkelsymmetrale von a liegen.
Wenn ein Punkt von den Seiten a und c gleich weit entfernt ist, so muss er auf der
Winkelsymmetrale von b liegen.
Daraus kannst du erkennen: Der einzige Punkt, der für unseren Mittelpunkt in Frage kommt,
ist der Schnittpunkt I der beiden Winkelsymmetralen w_a und w_b.
Nun gilt natürlich Ib=Ic und Ia=Ic, daher ist auch Ia=Ib.
Weil dieser Punkt I von allen drei Seiten gleich weit entfernt ist, kann man
mit ihm als Mittelpunkt einen Kreis zeichnen, der die drei Seiten jeweils in
genau einem Punkt berührt. Dieser
Kreis heißt Inkreis des Dreiecks und der
Punkt heißt daher Inkreismittelpunkt
I. Sein
Abstand von den Seiten des Dreiecks ist der
Inkreisradius r.
Winkelsymmetralen des Dreiecks
In jedem Dreieck schneiden einander die drei Winkelsymmetralen
der Dreieckseiten in
genau einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt.
Dieser ist von den drei Seiten gleich weit entfernt.
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