Es ist wichtig, dass du dir überlegst, welche Operationen es ermöglichen ein Ergebnis entstehen zu lassen, dass wieder in der gleichen Menge liegt, wie die beiden ursprünglichen Operanden. Also kommt z.B. bei der Addition zweier beliebiger ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl heraus? Wie ist das, wenn man zwei ganze Zahlen durcheinander dividiert? Oder zwei rationale Zahlen miteinander multipliziert? Wir haben dazu auch schon den Begriff der Abgeschlossenheit kennengelernt. Welche der Zahlenmengen ist bezüglich welcher Grundrechenart abgeschlossen?

Wenn du zwei beliebige Zahlen aus einer der bisher kennengelernten Mengen nimmst und miteinander verknüpfst, bleibt das Ergebnis in der gleichen Menge? Fülle die nachstehende Tabelle in deinem Übungsheft vollständig aus! Notiere dir die jeweiligen Gegenbeispiele die dir eingefallen sind! Beachte, dass man bei der Division den Fall, dass der Divisor 0 ist, nicht berücksichtigt!

6 plus wieviel ist 6? -2 mal wieviel ist -2? Manche Zahlen verändern eine andere Zahl nicht, wenn man die beiden miteinander verknüpft. Diese Zahlen haben einen bestimmten Namen:

• Ein neutrales Element einer Menge bezüglich einer bestimmten mathematischen Operation ist ein Element, die bei Verknüpfung mit beliebigen Elementen der Menge, diese nicht verändert.
• Das neutrale Element einer Menge muss für verschiedene Operationen nicht gleich sein, sondern kann sich für die einzelnen Operationen unterscheiden.

Überlege dir die neutralen Elemente der Mengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ bezüglich der Operationen +, -, ⋅ und : und schreibe sie dir ein einer kleinen Tabelle auf!

6 plus wieviel ist 0? -2 mal wieviel ist 1? In vielen Mengen existieren zu jedem Element x ein anderes Element y, das die Eigenschaft hat, dass, wenn man die beiden mit einer bestimmten Operation miteinander verknüpft, also z.B. x+y oder x⋅y, das neutrale Element bezüglich eben dieser Operation entsteht. Das Element y ist das sogenannte inverse Element von x.

Überlege dir, zu welchen Elementen der Mengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ bezüglich der Operationen +, -, ⋅ und : inverse Elemente existieren und wie diese gebildet werden können!

Schlage nochmal die Grundrechenregeln von Zahlen nach und merke dir, was das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz besagt. Mache anschließend den folgenden kleinen Selbsttest dazu!