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2.1 Der Mittelwert
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Der Mittelwert aus n
Zahlen a1,
a2, ...
an ist,
wie du sicher weißt, durch die Formel
| Mittelwert
= |
a1
+ a2 + ... + an |
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| n |
gegeben. In Worten: Der Mittelwert (oder kurz das Mittel) der gegebenen
Zahlen ist ihre Summe dividiert durch ihre Anzahl.
Die gleiche Formel kannst du auch auf andere Objekte als Zahlen anwenden
(wie beispielsweise auf Vektoren).
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2.2 Der Massenmittelpunkt
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Ein Beispiel für das Mittel von Vektoren ist der Massenmittelpunkt
(oder kurz auch Schwerpunkt) eines Systems von n
Massenpunkten an den Orten
A1,
A2 ...
An,
die alle die gleiche Masse besitzen. Der
Massenmittelpunkt eines solchen Systems kann mit Hilfe der Formel
berechnet werden. (Hier sind die Punkte M, A1,
A2 ... durch Vektoren dargestellt. Wir unterscheiden in dieser Schreibweise
zwischen Punkten und den sie darstellenden Vektoren - manchmal auch Ortsvektoren genannt - nicht).
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2.3 Das gewichtete Mittel
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Bei den beiden oben angegebenen Formeln zur Berechnung des Mittels "wiegen" alle
Zahlen oder Vektoren, aus denen das Mittel gebildet wird, gleich viel.
Sie tragen alle gleichberechtigt zum Mittel bei. Manchmal möchte man aber,
dass die gegebenen Zahlen oder Vektoren verschieden stark "wiegen" sollen.
Das ist insbesondere für ein System aus Massenpunkten der Fall, die
verschiedene Massen besitzen.
Stell dir beispielsweise ein System aus zwei Massenpunkten
A1 und
A2 vor, wobei
die Masse am Punkt A2
doppelt so groß ist als jene am Punkt
A1.
Wo liegt der Massenmittelpunkt dieses Systems? Um diese Frage zu beantworten,
kannst du das System als aus drei Massenpunkten bestehend
betrachten, die an den Orten
A1,
A2 und
A3 sitzen
und alle die gleiche Masse haben, wobei
A2 =
A3 ist. Nun kannst du die oben
angegebene Formel für den Massenmittelpunkt verwenden:
Daraus folgt:
Das ist die gesuchte Formel! Betrachte sie genauer: Die Punkte
A1 und
A2
treten im Zähler mit Koeffizienten auf, die proportional zu den Massen
sind! Der Punkt
A2
trägt doppelt so viel zum Massenmittelpunkt bei als der Punkt
A1,
da an ihm die doppelte Masse sitzt. Ein solcher Ausdruck heißt gewichtetes Mittel.
Die allgemeine Formel für den Massenmittelpunkt eines Systems aus
n
Massenpunkten, die die Massen
m1,
m2, ...
mn
besitzen, lautet
| M
= |
m1 A1
+ m2 A2 + ... + mn An |
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m1 + m2 + ... + mn
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Sie hat die gleiche Struktur wie jene für das obige Beispiel mit den
zwei Massenpunkten: Die Koeffizienten (die "Gewichte") sind proportional zu den Massen.
Im Nenner steht die Gesamtmasse des Systems. Diese Formel wird dir bei der Entdeckungsreise durch die
Dreiecksgeometrie helfen!
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2.4 Ausgedehnte Körper
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Nicht jedes System aus Massen ist so einfach wie das oben betrachtete.
Realistischer sind Systeme, die aus ausgedehnten (d.h. nicht punktförmigen)
massiven Körpern bestehen. Wir werden keine Formel für deren Massenmittelpunkt
hinschreiben (dafür würde man die so genannte Integralrechnung benötigen), aber
die folgende Regel erlaubt es in vielen Fällen, auch derartige Systeme
in den Griff zu bekommen.
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2.5 Eine Regel zur Ermittlung des Massenmittelpunkts
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Die Ermittlung eines Massenmittelpunkts kann manchmal durch Anwendung der folgenden
Regel vereinfacht werden:
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Wird in einem System aus Massenpunkten die Masse eines Teilsystems
in dessen Massenmittelpunkt konzentriert, so ändert sich der Massenmittelpunkt des
Gesamtsystems dadurch nicht.
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Vielleicht leuchtet dir diese Regel intuitiv ein. Sie gilt sogar
für ein System aus ausgedehnten massiven Körpern, wie etwa dem aus
Erde und Mond bestehenden System. Um dessen Massenmittelpunkt
zu berechnen, kannst du annehmen, die Massen dieser beiden Himmelskörper
seien in ihren Mittelpunkten konzentriert.
Wenn du möchtest, kannst du
hier
einen Beweis dieser Regel für einen Spezialfall aufrufen.
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