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6.1 Noch einmal: Wo liegt der Schwerpunkt der Dreieckslinie?
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Nachdem wir nun eine allgemeine Formel für den Schwerpunkt
S' der Dreiecklinie kennen,
wäre es schön zu wissen, wo dieser Punkt in Bezug auf andere
charakteristische Punkte des Dreiecks (etwa Höhenschnittpunkt H,
Umkreismittelpunkt U,
Inkreismittelpunkt I und
Schwerpunkt S des Eckensystems)
liegt. Benutze ein dynamisches Geometrieprogramm
(wie beispielsweise GeoGebra, das
du kostenlos downloaden kannst), um dir die Sache genauer anzusehen!
Hinweis: Die Punkte H,
U und I
kannst du mit Hilfe eines dynamischen Geometrieprogramms so konstruieren, wie du es mit
Zirkel und Lineal machen würdest.
Für die Punkte S und
S' kannst du
die Formeln verwenden, die ihre Lage allgemein angeben.
Verändere die Eckpunkte des Dreiecks durch Mausziehen und betrachte, wie sich
H,
U,
I,
S und
S' ändern!
Fällt dir etwas auf?
Kannst du eine Vermutung formulieren, wie die Lage von
S' mit der
von anderen charakteristischen Punkten zusammenhängt?
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6.2 Ein Tipp
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Wie du vielleicht weißt, liegen die Punkte
H,
U und
S stets auf einer
Geraden, der so genannten Eulerschen Geraden. Fallen dir
in deiner dynamischen Geometriekonstruktion drei andere Punkte auf, die
möglicherweise immer auf einer Geraden liegen? Formuliere eine diesbezügliche
Vermutung!
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6.3 Eine Vermutung
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Wahrscheinlich bist du selbst darauf gekommen: Die dynamische Konstruktion
legt nahe, dass die Punkte
I,
S und
S'
(d.h. der Inkreismittelpunkt und die Schwerpunkte von Eckensystem und Dreieckslinie)
stets auf einer Geraden liegen. Wenn das wahr ist, gibt es neben der Eulerschen Geraden eine
weitere "merkwürdige Gerade" im Dreieck!
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6.4 Beweis der Vermutung
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Nun wollen wir ein bisschen "richtige Mathematik" betreiben. Die zuvor
geäußerte Vermutung kann erst dann als wahr gelten, wenn sie bewiesen worden ist.
Eine Möglichkeit, das zu tun, bietet die Vektorrechnung. Versuche,
durch eine Rechnung zu beweisen, dass die Punkte
I,
S und
S' stets auf einer
Geraden liegen! Für alle drei Punkte besitzten wir einfache Formeln.
Schreibe sie übersichtlich auf und finde einen Weg, die Vermutung zu beweisen!
(Diese Vorgangsweise ist die wichtigste Methode, mit der in der Mathematik neue Erkenntnisse
gewonnen, d.h. entdeckt werden).
Lösung
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6.5 Teilungsverhältnis
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Kannst du angeben, wie der Punkt S'
zeichnerisch gefunden werden kann, wenn I und
S bekannt sind?
Wie verhalten sich die Abstände dieser Punkte zueinander?
Lösung
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